Bất đẳng thức Côsi (Cơ bản)

5 thg 8, 2012

MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN)
CÓ THỂ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI
CÁCH SỬ DỤNG BĐT CÔSI

Trích: Diễn đàn khối 10

Nhắc lại:

* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm $a, b$ :
$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ (1)
- Cách viết tương đương: $a+b \geq 2\sqrt{ab}$ . (2)
Dấu $=$ xẩy ra khi và chỉ khi $a=b$ .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý $a, b$ , ta có:
- $a^2+b^2 \geq 2ab$ (Vì $\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ .

* Một số kết quả thường dùng:

$a+\dfrac{1}{a} \geq 2, \forall a>0$ .

Thật vậy, vì $a>0$ nên $\dfrac{1}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$a+\dfrac{1}{a} \geq 2.\sqrt{a.\dfrac{1}{a}} = 2$ .

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2, \, \forall a, b, a.b>0$ .

Thật vậy, vì $a.b>0$ nên $\dfrac{a}{b}>0, \, \dfrac{b}{a}>0$ . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} \geq 2.\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}}=2$ .

————————————

MỘT SỐ BÀI TẬP

Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi $x>1$ ta có: $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?

Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng $\dfrac{1}{x-1}$ nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của $x-1$ . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1}=4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} -1$ (*)
Vì $x>1$ nên $x-1>0$ .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương $4(x-1), \, \dfrac{1}{x-1}$ , ta có:
$4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4(x-1)\dfrac{1}{x-1}}$
Hay $4(x-1)+\dfrac{1}{x-1} \geq 2\sqrt{4}=4$ . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
$4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 4-1 =3$ .
Vậy $4x-5+\dfrac{1}{x-1} \geq 3$ (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 4(x-1)=\dfrac{1}{x-1}$
$\Leftrightarrow 4(x-1)^2=1 \Leftrightarrow (x-1)^2=\dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow x-1=\dfrac{1}{2}$ (do $x-1>0$ )
$\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$ .
——-

Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng $(x-1)(5-x) \leq 4, \, \forall x\in [1; 5]$

Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là $(\dfrac{a+b}{2})^2 \geq ab$ . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi $x\in [1; 5]$ thì $x-1 \geq 0, \, 5-x \geq 0$ . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
$(\dfrac{x-1+5-x}{2})^2 \geq (x-1)(5-x)$
$\Leftrightarrow 4 \geq (x-1)(5-x)$ . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow x-1=5-x \Leftrightarrow x=3$ .

——————

BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. $4-3x+\dfrac{4}{1-3x} \geq 7, \, \forall x<\dfrac{1}{3}$ .
2. $1-3x+\dfrac{3}{2-x} \geq 1, \, \forall x<2$
3. Với mọi góc $0^o < \alpha < 90^o$ , ta có: $\tan\alpha + \cot\alpha \geq 2$ .
4. $(3-x)(2+x) \leq \dfrac{25}{4}, \, \forall x\in [-2; 3]$ .
5. $(2-x).(1+2x) \leq \dfrac{25}{8}, \, \forall x\in [-\dfrac{1}{2}; 2]$ .